[BOJ 백준] 외판원 순회 (2098) Java, C

링크 : https://www.acmicpc.net/problem/2098

 

문제 설명 : 

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력 :

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 16) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

 

출력 : 

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

 

예제 입력 : 

4

0 10 15 20

5 0 9 10

6 13 0 12

8 8 9 0

 

예제 출력 : 

35

 

 

접근법 : 

1) 어떻게 풀 것인가?

유명하신 TSP 외판원순회 문제이다. 

모든 정점을 한 번씩 방문하는 경로를 탐색해야하는데 완전탐색으로 생각해보면

O(N!) 로 시간초과가 예상된다. 

 

이를 줄여주기 위해 비트마스킹과 DP를 이용한다. 

기본적으로 비트마스킹을 사용하면 시간복잡도를 O(2^N)으로 줄일 수 있고,

 

DP를 활용하면 가지치기를 통해 시간을 더 줄일 수 있다.

(했던 연산 하지 않음)

 

TSP 함수는 아래와 같이 구현했다.

	static int TSP(int id, int visited) {
		// ** 탈출조건 - 1. 모든 지점을 방문한 경우
		if(visited == (1<<N)-1) {
			// 1-1. 가는 경로가 없으면
			if (map[id][0] == 0) {
				return IMPOSSIBLE;
			}
			// 1-2. 가는 경로가 있으면
			return map[id][0];
		}
		
		// ** 탈출조건 - 2. 이미 계산한 경우
		if (dp[id][visited] != 0) {
			return dp[id][visited];
		}
		
		// 3. 반복문 돌면서 재귀탐색
		// 불가능하다고 가정하고 루트를 재귀적으로 탐색  ( 최솟값으로 갱신하기 위하여 )
		dp[id][visited] = IMPOSSIBLE;
		for (int i = 0; i<N; i++) {
			int next = visited | (1<<i);  // 다음 방문할 녀석
			// 3-1. 방문한 경우 continue
			if((visited & (1 << i)) != 0 ) continue;
			// 3-2. 길이 없는 경우 continue
			if(map[id][i]==0) continue;
			// 3-3. TSP 진행
			dp[id][visited] = Math.min(
					dp[id][visited], TSP(i, next) + map[id][i]);
		}
		return dp[id][visited];
	}

 

전체 코드는 아래 참고.

 

2) 시간복잡도

최악의 경우 2^N 예상되나, N(16)이 작고 DP 가지치기로 무리 없이 통과됨.

(Java 기준 - 256ms)

 

3) 공간복잡도

비트마스킹을 통한 공간절약으로 고려하지 않음.

 

4) 풀면서 놓쳤던점

INF 값을 Integer.MAX_VALUE로 했다가 overflow가 발생했다.

생각해보니 TSP(i, next) + map[id][i] 에서 overflow 발생 가능.

그래서 가능한 최댓값보다 여유있게 5천만 정도로 수정.

 

5) 이 문제를 통해 얻어갈 것

비트마스킹 DP.

 

Java 코드 : 

import java.io.*;
import java.util.*;

// 2098 외판원 순회   TSP
public class Main {

	static int N;
	static int[][] map;
	static int[][] dp;
	
    private static int IMPOSSIBLE = 50_000_000;

	public static void main(String[] args) throws Exception {

		// 1. 입력
		BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));

		N = Integer.parseInt(br.readLine());
		map = new int[N][N];
		int MAX = 1 << N; // 비트 마스킹을 위한 최대치
		dp = new int[N][MAX];

		StringTokenizer st;
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			st = new StringTokenizer(br.readLine());
			for (int j = 0; j < N; j++) {
				map[i][j] = Integer.parseInt(st.nextToken());
			}
		}

		// 2. TSP 수행 + 출력
		System.out.println(String.valueOf(TSP(0, 1)));

		br.close();
	}

	static int TSP(int id, int visited) {
		// ** 탈출조건 - 1. 모든 지점을 방문한 경우
		if(visited == (1<<N)-1) {
			// 1-1. 가는 경로가 없으면
			if (map[id][0] == 0) {
				return IMPOSSIBLE;
			}
			// 1-2. 가는 경로가 있으면
			return map[id][0];
		}
		
		// ** 탈출조건 - 2. 이미 계산한 경우
		if (dp[id][visited] != 0) {
			return dp[id][visited];
		}
		
		// 3. 반복문 돌면서 재귀탐색
		// 불가능하다고 가정하고 루트를 재귀적으로 탐색  ( 최솟값으로 갱신하기 위하여 )
		dp[id][visited] = IMPOSSIBLE;
		for (int i = 0; i<N; i++) {
			int next = visited | (1<<i);  // 다음 방문할 녀석
			// 3-1. 방문한 경우 continue
			if((visited & (1 << i)) != 0 ) continue;
			// 3-2. 길이 없는 경우 continue
			if(map[id][i]==0) continue;
			// 3-3. TSP 진행
			dp[id][visited] = Math.min(
					dp[id][visited], TSP(i, next) + map[id][i]);
		}
		return dp[id][visited];
	}

}

 

C코드 :  (주석 없음 주의)

//외판원순회
#if 1
#include <stdio.h>
#pragma warning (disable: 4996)
#define MAX (65600)
#define INF (0x70000000)

int N;
int W[17][17];
int visit[17][MAX];

void Input(void);
int makeSol(int cur, int visited);
int Min(int a, int b);

int main(void)
{
	Input();
	printf("%d\n", makeSol(0, 1));
	return 0;
}

int makeSol(int cur, int visited) {
	int i;
	int * ret = visit[cur];
	if (visited == ((1 << N) - 1)) 
		return W[cur][0] ? W[cur][0] : INF;
	if (ret[visited] != -1) return ret[visited];
	ret[visited] = INF;
	for (i = 0; i < N; i++) {
		if (visited & (1 << i)) continue;
		if (W[cur][i] == 0) continue;
		ret[visited] = Min(ret[visited], makeSol(i, visited | (1 << i)) + W[cur][i]);
	}
	return ret[visited];
}

void Input(void) {
	register unsigned int i, j;
	scanf("%d", &N);
	for (i = 0; i < N; i++) {
		for (j = 0; j < N; j++)
		{
			scanf("%d", &W[i][j]);
		}
		for (j = 0; j < 1 << N; j++)
			visit[i][j] = -1;
	}
	return;
}

int Min(int a, int b) {
	return a < b ? a : b;
}
#endif