[BOJ 백준] 구간 합 구하기 5(11660) Java

링크 : https://www.acmicpc.net/problem/11660

 

문제 설명 : 

N×N개의 수가 N×N 크기의 표에 채워져 있다. (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구하는 프로그램을 작성하시오. (x, y)는 x행 y열을 의미한다.

예를 들어, N = 4이고, 표가 아래와 같이 채워져 있는 경우를 살펴보자.

1	2	3	4
2	3	4	5
3	4	5	6
4	5	6	7

여기서 (2, 2)부터 (3, 4)까지 합을 구하면 3+4+5+4+5+6 = 27이고, (4, 4)부터 (4, 4)까지 합을 구하면 7이다.

표에 채워져 있는 수와 합을 구하는 연산이 주어졌을 때, 이를 처리하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력 : 

첫째 줄에 표의 크기 N과 합을 구해야 하는 횟수 M이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1024, 1 ≤ M ≤ 100,000) 둘째 줄부터 N개의 줄에는 표에 채워져 있는 수가 1행부터 차례대로 주어진다. 다음 M개의 줄에는 네 개의 정수 x1, y1, x2, y2 가 주어지며, (x1, y1)부터 (x2, y2)의 합을 구해 출력해야 한다. 표에 채워져 있는 수는 1,000보다 작거나 같은 자연수이다. (x1 ≤ x2, y1 ≤ y2)

 

출력 : 

총 M줄에 걸쳐 (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구해 출력한다.

 

예제 입력 : 

4 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7
2 2 3 4
3 4 3 4
1 1 4 4

 

예제 출력 : 

27

6

64

 

접근법 : 

1) 어떻게 풀 것인가?

N이 1024이고, 부분합을 M(100,000) 번 구해야한다.

단순하게 그때 그때 부분합을 구하게 되면 N^2(1024*1024) * M(10만)으로 시간초과가 예상된다.

 

문제는 크게 ① DP[ i ][ j ] 누적합을 만드는 점화식과 ② 문제에서 질문한 넓이를 구하는 점화식으로 나뉘어진다.

 

① DP[ i ][ j ] 누적합을 만드는 점화식

           // (위에↑ 값) + (왼쪽← 값) - (↖중복되는 대각선 값) + (인풋값)
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + map[i][j];

 

DP[ i ][ j ] 를 1,1 부터 i, j까지의 합이라고 가정한다면 쉽게 풀 수 있는 DP문제이다.

 

② 문제에서 질문한 넓이를 구하는 점화식

점화식은 이 그림으로 요약할 수 있다.

 

2) 시간복잡도

N^2번 입력 받을떄 누적합을 구하므로 O(N^2) - N은 1,024로 양호함

(Java 기준 -  944ms)

 

3) 공간복잡도

2차원 배열로 N이 크지 않으므로(1024^2) 특별히 고려하지 않음.

 

4) 풀면서 놓쳤던점

x = j / y = i 라고 착각했는데, 예제가 틀리길래 확인해보니, x가 i / y가 j 였다.

일반적인 좌표평면과 달라 주의.

 

5) 이 문제를 통해 얻어갈 것

DP적 사고방식. 부분의 정답을 모아 전체의 정답을 만들기 - 2차원 버전

 

Java 코드 : 

import java.io.*;
import java.util.*;

// 11660 구간 합 구하기 5
public class Main {

	static int N, M;
	static int[][] map; // 입력받는 값
	static int[][] dp; // dp [i][j] = (1,1)에서 (i,j) 까지의 합

	public static void main(String[] args) throws Exception {
		BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		BufferedWriter bw = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));

		StringTokenizer st;
		st = new StringTokenizer(br.readLine());
		N = Integer.parseInt(st.nextToken());
		M = Integer.parseInt(st.nextToken());

		// 1. N * N 지도 입력 받기
		map = new int[N + 1][N + 1];
		dp = new int[N + 1][N + 1];
		for (int i = 1; i <= N; i++) {
			st = new StringTokenizer(br.readLine());
			for (int j = 1; j <= N; j++) {
				map[i][j] = Integer.parseInt(st.nextToken());
			}
		}

		// 2. DP 배열 완성하기 dp[i][j] = (1,1)에서 (i,j)까지의 합
		for (int i = 1; i <= N; i++) {
			for (int j = 1; j <= N; j++) {
				// (왼쪽← 값) + (위에↑ 값) - (↖중복되는 대각선 값) + (인풋값)
				dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + map[i][j];
			}
		}

		// 3. 정답 구해서 출력
		StringBuilder sb = new StringBuilder();
		int x1, y1, x2, y2;
		for (int i = 1; i <= M; i++) {
			st = new StringTokenizer(br.readLine());
			x1 = Integer.parseInt(st.nextToken());
			y1 = Integer.parseInt(st.nextToken());
			x2 = Integer.parseInt(st.nextToken());
			y2 = Integer.parseInt(st.nextToken());

			sb.append((dp[x2][y2] - dp[x2][y1 - 1] - dp[x1 - 1][y2] + dp[x1 - 1][y1 - 1]) + "\n");
		}
		bw.write(sb.toString());

		bw.flush();
		bw.close();
		br.close();
	}
}